Une fonction \(f\) est symétrique si : $$f(x,y)=f(y,x)$$
Fonction multilinéaire symétrique
Définition :
On dit que \(f\) est une fonction \(k\)-linéaire symétrique si pour toute permutation \(\sigma\) de \(\{1,\dots,k\}\), on a : $$\forall x_1,\dots,x_k\in E,\quad f(x_1,\dots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$$
Caractérisation
La forme bilinéaire \(\sigma\) est symétrique s'il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice \(A\) de \(\sigma\) est symétrique $$A=A^T$$
(Matrice symétrique)
Propriétés
Le caractère de symétrie ou d'antisymétrie est indépendant de la base
